理论物理学的目标是建立物质相互作用的理论体系、解释自然现象背后的本质规律。为了将理论化繁为简，一个至关重要的指导思想是寻找物理体系中的对称性。对称性不仅能限制物理理论的形式，还能引出守恒量的概念，可帮助我们理解物理体系的演变过程。
近年来，理论物理领域正在发生着一场“广义对称性”[1～4]的概念革命。来自高能物理、凝聚态物理与数学等不同领域的学者们会聚一堂，提出各种新颖的对称性概念，并在物理体系中的寻找它们的痕迹。本文试图引领读者了解这个充满活力的数学物理领域，一窥其背后的思想与魅力。
对称性与守恒量
无论是在宏观的日常生活中，还是微观的物理体系中，对称性都无处不在。从美学的角度来看，对称性是美的极大体现。甚至可以说，对称性的美学追求深深刻在了人类基因中。
著名数学家艾米·诺特（Emmy Noether）提出了关于对称性的基本定理——诺特定理。她指出：每一种连续对称性都能引出一个守恒量。常见的例子有：
（1）空间平移对称性——动量守恒：在具有空间平移对称性的系统里，体系的总动量不随着空间平移而变化。
（2）时间平移对称性——能量守恒：想象一下，在房顶上放置了一个铁球。在具有时间平移对称性的系统中，铁球的重力势能并不会随着时间的推移而变化。不论是今天还是明天将其推下，铁球着地的速度都是相同的。
（3）空间旋转对称性——角动量守恒：花样滑冰为角动量守恒提供了一个生动的例子。因为角动量等于转动角速度乘以转动惯量，选手缩起手臂时，转动惯量减小，从而使转速加快（此处忽略摩擦等耗散现象）。
也许你会思考：那我们熟知的电荷守恒，又对应着什么样的对称性呢？
局域场与规范对称性
让我们回到19世纪，当时物理学家使用了一个重要的新概念——“场”以描述电磁现象，它对人类哲学也产生了冲击，因为这是一种无形且无处不在的物质。最终麦克斯韦总结了之后以他名字命名的方程组，为经典电磁学奠定了理论基础（此处“经典”是与量子对立的概念）。
经典电磁理论的一个重要推论是电磁波的存在，例如可见光、微波等。电磁波在真空中的传播速度是恒定的，即光速。在经典电磁场理论中，所有相互作用都是局域的。也就是说，物质只能影响其附近的事物，而电磁相互作用的传播速度不能超过光速。这一特性启发了爱因斯坦在20世纪初建立狭义相对论，将三维空间与一维时间统一为有机的整体——四维时空。
狭义相对论可以自然地描述电磁场的动力学（即“电动力学”）。在其现代版本中，基本的物理对象包括由电磁四维矢量描述的场A，以及描述带电粒子的局域物质场 Φ 。这样的理论具有“规范对称性”（或“局域对称性”），即拉格朗日量在变换 Φ →exp(iλ) Φ ，A→A+dλ下不变，这里“规范参数”λ是依赖于时空坐标的函数。因此，四维矢量A也被称为规范场。
在理论物理中，人们通常不将这种规范对称性视为“真正”的对称性，因为它意味着理论中存在一些冗余的自由度。实际处理中，需要选择特定的λ进行“规范固定”，以得到真实的物理自由度。
与此相反，诺特定理中的对称性要求λ与时空坐标无关，即对应于 “全局对称性”（global symmetry）。本文中提到的“对称性”默认都指的是全局对称性。
回到之前的问题：电荷守恒是由什么连续对称性得到的呢？
答案是：全局规范对称性！电荷是令规范参数λ与时空坐标无关后，应用诺特定理推出的守恒量。
对称性背后的数学——群
群是由19世纪数学天才伽罗瓦（Évariste Galois）、阿贝尔（Niels Henrik Abel）等人提出的代数结构，它作为描述对称性的基本数学框架，具有高度的美感。
简而言之，群是一个集合，一种被额外赋予的代数结构，即元素之间的群运算a·b（也可称为群乘法、群加法）。群运算需要满足：
（1）结合律a·(b·c)=(a·b)·c；
（2）可逆性，即群中有唯一的单位元e，使得对任何元素a，存在它的逆元素a-1，a·a-1= a-1·a=e。
此定义比较抽象，但从对称性变换的角度来理解就显得非常自然。一个群的元素对应某种对称性变换，群乘法则表示两次接替的变换，而单位元对应于不变换，逆元对应于逆变换。
用群来表示前文提到的对称性例子：
（1）时间平移对称性——实数上的加法群R；
（2）空间平移对称性——三个独立实数的加法群R3；
（3）空间旋转对称性——李群SO(3)，每一个群元素可以用三个“欧拉角”来描述；
（4）电磁场的规范对称性——李群U(1)，群元素exp(iλ)对应上文提到的相位旋转（规范参数），其中λ的取值范围是0到2π。
尤其留意，可逆性是群的一个重要定义特征。在后文中，我们将突破群的可逆性，探讨“不可逆”的对称性。
高形式对称性
在传统的局域量子场论中，人们研究的焦点通常是局域场算符，它们被定义在时空中的某个0维的点上。传统的对称性主要作用在这些局域场算符上。
然而，量子场论中同样存在着高维的非局域算符。以麦克斯韦电磁学理论为例，我们可以围绕一个一维的圈上对规范场A做积分，从而定义出：
这一在规范对称性变换下不变的“威尔逊圈”（Wilson loop）算符。
在广义对称性浪潮的早期，奠基性工作“Generalized global symmetries”[1]首先提出了一种被称为高形式对称性（Higher-form symmetry）的新颖概念，作用在场论中的高形式算符上。
例如对于不存在带电粒子的麦克斯韦电磁学理论，可以定义一种拓扑算符——电通量算符（electric flux）作用于威尔逊圈上，形式是将其乘上一个额外的U(1)相位因子（见下图）。此种全局对称性被称作（电的）“1-形式对称性”（1-form symmetry）。
高形式对称性同样满足诺特定理，上文中1-形式对称性对应的守恒量即是电通量。由于我们假设不存在带电粒子，电通量的确是守恒的。
类似地，当理论中不存在磁荷时，磁通量也是一个守恒量，对应于磁的1-形式对称性。
更一般地说，以上图中拓扑方式作用在p维非局域算符上的对称性，我们称之为p-形式对称性。这个命名来源于定义这些拓扑算符的数学工具——微分形式。在这种语言下，高形式对称性可以自然地在弯曲时空中进行定义。
高形式对称性与禁闭
在基础物理学中，一个重大问题是解释量子色动力学中的夸克禁闭现象。具体来说，为什么夸克在长距离（低能标）下会组合成质子、中子和其他粒子，而我们无法直接观测到裸夸克呢？这个问题在数学上对应着克雷数学研究所千禧年七大数学问题之一，即杨—米尔斯问题。
在此理论中，威尔逊圈扮演着重要的角色，因为当圆圈的尺寸趋于无穷大时，其行为对应于量子色动力学在长距离下的行为。有以下两种可能的情况：
（1）威尔逊圈的取值（真空期望值）呈exp(-A)的形式，与圆圈的面积相关，被称为面积律。当圆圈尺寸趋于无穷时，威尔逊圈的真空期望值趋于零，理论处于禁闭状态；
（2）威尔逊圈的取值（真空期望值）呈exp(-L)的形式，与圆圈的周长相关，被称为周长律。这时当圆圈尺寸趋于无穷时，威尔逊圈的真空期望值可在加局域抵消项后不等于零，而理论处于解禁闭状态。
对于只有规范场（胶子），没有物质场（夸克）的杨—米尔斯场论，其中蕴含着离散的1-形式对称性，我们也可以讨论其中胶子的禁闭行为。上面提到的面积律（1）对应于1-形式对称性未发生自发对称破缺的情况，即禁闭状态；而周长律（2）则表明1-形式对称性发生了自发对称破缺，即解禁闭状态。
在广义对称性的研究中，一个终极目标是找到适用于真实世界的量子色动力学的广义对称性，研究其对称性自发破缺，最终理解禁闭与解禁闭相之间的相变过程等物理问题。这是一个长远而富有挑战性的研究问题。
量子反常，反常理论与SPT
量子世界是一个神秘且与经典世界截然不同的领域，其许多方面难以用日常经验理解。在对称性方面，经典场论中具有的对称性也有可能在量子水平下被破坏。这种物理现象被称为量子反常（或反常，anomaly）[5]。
具体而言，我们需要计算量子理论的配分函数是否依然拥有原对称性。量子反常可分为两种主要类型：
（1）规范对称性的量子反常；它的存在表明量子规范场论本身是不自洽的，因而需要用某些物理机制来抵消（例如Green-Schwarz机制）。
（2）全局对称性的量子反常，即’t Hooft反常；它的存在本身并不会推翻理论，但如果想将全局对称性变为有动力学的规范对称性，即进行规范化，’t Hooft反常将阻碍这一过程的发生。
在有’t Hooft反常的情况下，我们通常可以引入一个高一维时空中的“反常理论”（anomaly theory），与原来的物理体系相耦合。换句话说，原来d维的物理体系可以被认为存在于某个(d+1)维带边流形的边界上。反常理论是一个拓扑量子场论，其规范变换正好与d维物理理论中的’t Hooft反常相抵消，这样组合之后的大体系就没有反常，见下图：
在凝聚态物理中，一个重要的研究课题是探索和分类物理体系中的各种相，特别是被体系的拓扑性质所保护的“拓扑序”（topological order）。前述的反常理论的物理图像正好对应于文小刚老师等人提出的对称性保护拓扑序（SPT，Symmetry Protected Topological order）[6]。以上的讨论也可自然适用到高形式对称性的情况，为理解量子体系中的对称性和拓扑性质提供了新视角。
超越群——范畴对称性
正如前文所述，群是一种描述对称性的自然结构，但是否描述对称性一定要用群呢？随着形式化量子场论的发展和高形式对称性的提出，人们意识到在场论中需要关注高维物体和高维算符，例如被p-形式对称性作用的p维算符。但是，我们能否描述不同高形式对称性之间的混合呢？以及需要用什么样的数学结构来描述呢？
答案是：现代数学的灵魂——范畴。
范畴是集合论的推广与集大成，同时也是数学的一个重要前沿领域。一个一阶范畴包含了一些对象（object）和对象之间的关系（被称为“态射”，1-morphism）。进一步，我们可以定义二阶范畴（2-category），其中包含关系之间的关系（2-morphism），三阶范畴包含关系的关系的关系（3-morphism），以此类推，甚至到无穷范畴。
在拓扑学中，我们可以将空间上的每个点看成对象，两个点之间的路径看成对象之间的关系，两个路径之间张成的面看成关系之间的关系，等等。因此，可以看出范畴论早期的发展与代数拓扑中的同伦论（homotopy theory）存在密切的联系。
在代数中，我们同样可以用范畴的语言定义代数结构。例如，群可以被看作只有一个对象“•”的一阶范畴，其中每个群元素对应“•”到自己的一个1-morphism。当然，对于群来说，这些1-morphism都是可逆的，并且需要满足结合律。
接下来就是将群推广到高阶群（higher-group），一个n阶群（n-group）被定义为只有一个对象“•”的n阶范畴。在这个n阶范畴中，包括可逆的1-morphism、2-morphism直到n-morphism，它们在物理中对应于不同的对称性变换，作用在不同维度的算符上。
更细致地说，对称群在物理算符上的作用方式是由其“群表示”确定的。一个简单的例子是三维空间中的旋转变换，它可以作用在三维坐标矢量上。在线性代数中，这可以理解为一个3×3的旋转矩阵去乘以一个三维列矢量。换句话说，我们用一个3×3矩阵去“表示”旋转对称群的元素。
对于高阶群的群表示，也需要用所谓的“n阶矢量空间”（一个n阶范畴）去替代普通的矢量空间。在数学领域，一般的高阶群与表示理论还未被完全建立，而此问题在数学和物理中都存在许多未知的可能性，亟待人们深入探索。
不可逆对称性
在范畴对称性的讨论中，我们依然假设所有对称变换都是可逆的。现在自然而然地引出一个问题：我们能否放松对可逆性的要求呢？
在一般的范畴中，1-morphism当然可以是不可逆的。一个经典例子是非阿贝尔群的表示张量范畴（representation tensor category），其中的1-morphism是群表示，而它们之间的结合就是群表示之间的张量乘积展开。一个简单的例子是SU(2)群，其不可约表示可用自旋标记。两个自旋1/2的粒子结合，可以得到一个自旋为1的三重态，以及一个自旋为0的单重态：
在这个代数系统中，单位元可以被定义成自旋为0的单重态。然而，对于张量积运算而言，不存在逆元的概念。
接下来，我们将探讨物理系统中的不可逆对称性[3]。一般来说，生成不可逆对称性的拓扑算符之间的张量积需要形成以下的一般形式，即等式右边是若干个算符的直和：
一个具有不可逆对称性的物理实例可由以下方法构造：考虑一个具有离散非阿贝尔群G对称性的场论模型，我们将这个对称性规范化，变成一个规范群为G的规范场论。可以证明，新的体系会具有一个新的对称性G’，其对称性代数为G的Pontryagin对偶，也就是G的表示张量范畴。由于非阿贝尔群的表示在张量乘积运算下不可逆，我们因此构造出了一个带有不可逆对称性的物理体系。
我们还可以研究最一般的，由n阶张量范畴描述的高阶范畴对称性，这些高阶范畴对称性的定义和性质与普通对称性大不相同。如何研究它们的表示论、量子反常、对称性破缺等问题都是数学物理中的前沿课题。
广义对称性与弦论
如何理解非微扰、强耦合、强关联系统是物理学中的基本难题，也是数学物理的终极问题之一。由于一般的非微扰量子场论过于复杂，人们会尝试讨论一些具有更高对称性的模型。
其一是探讨具有标度不变性的“共形场论”。这些理论在统计物理中用于描述临界现象，同时也能描述量子场论在极限短距离（紫外）或极限长距离（红外）下的“不动点理论”。
其二是引入一种新的对称性——超对称，要求理论中的玻色子与费米子两两配对。超对称可简化、减少量子场论中的量子修正。
共形场论与超对称量子场论一直以来都是形式化高能理论的重点研究领域，它们背后蕴含着丰富的数学结构。例如四维N=2超对称场论的Seiberg-Witten理论、四维N=4超对称场论的散射振幅结构，以及各种对偶性等都是深受关注的研究方向。
值得一提的是，有些量子场论同时具备超对称性和共形不变性，它们被称为“超对称共形场论”（superconformal field theory）。这类理论很多都是非微扰的，甚至没有经典拉氏量近似描述。著名的例子包括四维的“Argyres-Douglas”理论，以及众多的五维、六维时空中的超对称共形场论等[7，8]。
我们可以在弦论框架中系统地构造许多超对称共形场论，这也被称为“几何工程”（geometric engineering）。弦论是一种自上世纪70年代以来发展起来的量子引力候选理论，旨在统一量子场论与广义相对论。诸多现代数学分支也随着弦论的进展而一同得到发展，如复代数几何、镜像对称、计数几何、共形场论相关的算子代数，等等。
人们通常使用的弦论版本是10维的IIA/IIB超弦理论，或者11维的M-理论、“12维”的F-理论等。为了获得我们所需的低维理论，我们需要把其中一些额外的时空维数置于满足一定数学条件的几何空间上，比如著名的卡拉比-丘流形。
当我们希望构造不含引力部分的超对称共形场论时，选取的几何空间需要满足以下的性质：
（1）几何空间的体积趋于无穷，使得低维理论的牛顿引力常数趋于零，即引力相互作用可被忽略；
（2）几何空间包含一个奇异点，即呈现下图的锥形结构。超对称共形场论中的物理自由度就隐藏在这个奇异点当中。
前文提到的许多有趣的超对称共形场论都可以通过这种方法构造。近年来的研究表明，虽然我们仍然很难描述这些理论的动力学细节，但却可以直接利用几何空间的拓扑性质去计算它们的全局结构，尤其是它们的广义对称性。
具体而言，在超弦/M-理论中都存在着奇异的高维“膜”物体，如超弦中的D膜和M-理论中的M2、M5膜。通过将这些膜缠绕在一些特定的子空间上，我们可以直接构造出广义对称性作用的高维物理对象。例如，笔者与合作者首次通过这种方法计算了四维“Argyres-Douglas”理论及其推广理论的高形式对称性[9]。
近年来，一些学者也在探索用弦论框架来构造不可逆对称性和高阶范畴对称性[10]。这种尝试或许可以在一定程度上将弦论“范畴化”。
广义对称性与全息
除了前文提到的在弦论中的直接几何构造方式，还有一种在弦论框架中研究量子场论的途径，即AdS/CFT对应，或更广义地说是全息原理。AdS/CFT对应的核心思想在于两个物理理论之间存在对偶性（等价性），分别是：
（1）弯曲的反德西特（Anti de-Sitter，AdS）时空中的量子引力理论。这里的反德西特时空可以视为一种具有边界的负曲率双曲时空；
（2）在AdS时空边界上定义的一个量子场论，该场论中没有引力相互作用。
由于AdS时空中量子引力理论的信息完全包含在其边界场论当中，这种对应关系类似于光学中的全息现象，所以也被称为全息原理。
在某些极限情况下，我们能够建立弱耦合引力理论与强耦合边界场论之间的对偶关系。因此，AdS/CFT也被认为是一种有望解决强耦合物理问题的理论框架。
从广义对称性的角度看，在AdS/CFT中，量子引力中的规范对称性对应于边界量子场论中的全局对称性。
因此，为了研究AdS/CFT框架下边界量子场论的广义对称性，我们可以去寻找AdS量子引力中是否存在合适的规范场。读者可能会发现，此物理图像与上文中讲的反常理论与SPT的图像非常相似。实际上，边界量子场论的’t Hooft反常正好对应于AdS中量子引力的拓扑项！在近年，笔者与合作者利用M-理论的几何框架成功计算了著名的三维ABJ/ABJM理论的’t Hooft反常，以及其他三维超对称共形场论的情形[11]。
展望
广义对称性是一个蓬勃发展的新领域，不断刷新着人们对于对称性这一古老概念的认知。它的重要意义不仅在于其在各物理分支中的应用，更在于它成功地重新团结了三个原本独立的群体：高能理论学家、凝聚态理论学家和数学家。在国际理论物理学界，人们逐渐开始习惯用广义对称性的语言和思考方式来分析问题。笔者相信，广义对称性将成为物理基础教育中的一部分。如果读者想更深入地学习广义对称性，可参考笔者与王晴睿老师以及学生罗然合作撰写的综述讲义[2]，以及其他相关讲义[3，4]。
最后，让我们简要展望一下这三个方向的未来研究前景：
（1）在高能理论方面，研究各种广义对称性的量子反常、对称性自发破缺等基本问题，深入研究广义对称性在弦论与引力-全息对偶中的实现形式，探索在粒子物理、散射振幅、模型构造中的物理应用等；
（2）在凝聚态理论方面，用广义对称性描述各种拓扑物态、SPT，在格点哈密顿量模型中实现广义对称性，分类融合范畴、高阶融合范畴（higher fusion category）及其对应的拓扑场论，研究在拓扑量子计算中的潜在应用等；
（3）在数学领域，细致地研究高阶范畴及其表示论，严格证明拓扑量子场论、SPT等领域的物理猜想，推动量子场论的公理化，为理论物理提供更严密的数学基础。
参考文献：
[1] D. Gaiotto, A. Kapustin, N. Seiberg, B. Willett, Generalized Global Symmetries, JHEP (2015) 02, 172.
[2] R. Luo, Q-.R. Wang, Y-.N. Wang, Lecture Notes on Generalized Symmetries and Applications, Physics Report (2024) 1065.
[3] L. Bhardwaj, L. E. Bottini, L. Fraser-Taliente, L. Gladden, D. S. Gould, A. Platschorre, H. Tillim, Lectures on generalized symmetries, Physics Report (2024) 1051.
[4] S. Schafer-Nameki, ICTP lectures on (non-) invertible generalized symmetries, Physics Report (2024) 1063.
[5] J. A. Harvey, TASI 2003 lectures on anomalies, arXiv: hep-th/0509097.
[6] X. Chen, Z-.C. Gu, Z-.X. Liu, X-.G. Wen, Symmetry protected topological orders and the group cohomology of their symmetry group, Physical Review B, 87(15), 155114.
[7] P. Jefferson, S. Katz, H. C. Kim, C. Vafa, On geometric classification of 5d SCFTs, JHEP 04 (2018) 103.
[8] J. J. Heckman, D. R. Morrison, T. Rudelius, C. Vafa (2015), Atomic classification of 6D SCFTs. Fortschritte der Physik, 63.7-8 (2015), 468-530.
[9] C. Closset, S. Schafer-Nameki, Y-.N. Wang, Coulomb and Higgs Branches from Canonical Singularities: Part 0, JHEP 02 (2021) 003.
[10] F. Apruzzi, F. Bonetti, D. S. Gould, S. Schafer-Nameki, Aspects of Categorical Symmetries from Branes: SymTFTs and Generalized Charges, arXiv:2306.16405.
[11] D. S. Gould, M. v. Beest, S. Schafer-Nameki, Y. N. Wang, Symmetry TFTs for 3d QFTs from M-theory, JHEP 02 (2023) 226.
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