火星自古以来就吸引着人类。这颗红色行星的逆行为托勒密的太阳系模型提供了动力；千年以后，开普勒的行星运动定律是他持续了大约18年的“火星大战”的结果；上世纪初，天文学家Percival Lowell观测到的火星“运河”为人类的想象力插上了翅膀；在过去的30年里，为了研究火星的表面和大气，人类多次成功尝试登陆火星。
时间兜兜转转到了2020年7月，在前后10天内，人类飞行器扎堆向火星进发。7月20日阿联酋的“希望号”火星探测器最先启程；7月23日我国的“天问一号”开启了前往火星的史诗级征程；7月30日，美国“毅力号”火星探测器也迈向了深空。
很多公众号，已经给我们普及了如下航天知识：
-
地球火星每26个月接近一次；
-
每26个月有次机会去火星最省能量；
-
这条最省能量的路径是霍曼转移轨道（霍曼变轨）；
-
沿着这条轨迹要飞行7个月才能到达火星。
如下美图直观地揭示了以上知识：
图 地球火星距离(来自NASA)
图 霍曼转移轨道(来自NASA)
图 地球-火星轨道描述（来自文献1，注意图中的44°）
图 “希望号”火星探测器的旅程
从图中可以看出，走霍曼转移轨道，为了在轨道远地点与火星相遇，出发点地球、火星与太阳连线的夹角为44°。
但笔者手欠算了一下，发现2020年7月20日左右，地球、火星与太阳连线夹角只有30°，7月30日为26°。除非提前1个月半，即6月6日左右，夹角才为44°。
python程序（缺哪个模块pipinstall即可）
from astropy.time import Time
from jplephem import Ephemeris
import de421
from math import *
tjd=Time(‘2020-6-6’).jd
eph=Ephemeris(de421)
pe=eph.position(‘earthmoon’，tjd).reshape(1，3)[0] # 地月系公共质心离地心约4671公里，影响可以忽略
pm=eph.position(‘mars’，tjd).reshape(1，3)[0]
ps=eph.position(‘sun’， tjd).reshape(1，3)[0]
p1=pe-ps; p2=pm-ps
r1=sqrt(p1.dot(p1)); r2=sqrt(p2.dot(p2))
theta=acos(p1.dot(p2)/r1/r2)*180/pi
print(theta)
自然地，笔者想解决如下几个疑问：
-
这些探测器走的真的是霍曼转移轨道吗？霍曼变轨是不是最优的？有无证明？
-
轨道差异是因为偏心率、轨道倾角影响？还是因为地球和火星引力场影响的结果？
于是就有了此篇调研。
到火星走的是什么轨道？
图 变轨示意图
如上图，为从轨道C1到达轨道C2，至少需要两次点火，第一次点火将圆轨道变为轨道E，在轨道E与轨道C2相交时第二次点火。
这条新轨道E的方程写为r=p/(1+e cos f)。新轨道需要通过r1和r2，因此r1和r2需要包含在轨道半长轴和半短轴之间，这就给出了轨道E的约束方程：
这个约束可以用如下图形表示，变轨轨道可以为椭圆、抛物线或双曲线轨道，但必须在两条直线所包含的区域内。
图 变轨轨道可行域
写出每次变轨需要速度增量，并将总速度增量∆v∑=∆v1+∆v2对e求导可以得到：
因此变轨所需速度增量随着偏心率e增加递增，在可行域的H点e最小，此时变轨所需总速度增量最小。H点对应ra=r2，rp=r1，即变轨轨道与轨道C1和C2均相切，这就是霍曼转移轨道。
对于霍曼变轨，转移轨道时间t12等于过渡椭圆轨道周期的一半：
根据火星与太阳平均距离1.52AU（天文单位），以及地球轨道半径1.5e8km，计算得到轨道转移天数为259天。
根据这个时间段内天体所走距离，可以计算得到提前角（出发瞬时天体与中心连线夹角）：
代入r2/r1=1.52，计算得到提前角为180*(1-((1+1.52)/2/1.52)^1.5)=44.149°。
从上可以得到如下结论：
-
对于共面圆轨道，采用两次脉冲点火（推力、比冲无穷大），霍曼变轨最省能量；
-
如果将地球和火星视为共面圆轨道，采用霍曼变轨登陆火星，提前角为44.149°。
为什么集中在2020年7月发射？
地球轨道偏心率0.0167，火星轨道偏心率0.0934。火星近日点距离2.0662e8km，远日点距离2.4923e8km，如果再考虑火星与黄道1.85°的交角，不可能进行真正的霍曼转移，而只能是类霍曼转移。
这种转移太过复杂，很难下手，可以先将问题蜕化一个维度：给定出发时间和到达时间，这时出发位置、到达位置都是确切的（查询行星星历），求解这两点间轨道。此时问题转化为两点边值问题。
这个问题就是Lambert问题或高斯问题，它产生于18世纪，其初衷是通过观测来确定行星轨道，高斯使用这种方法确定了谷神星轨道。
图 Lambert问题
这里存在时间不利于求解，Lambert飞行时间定理表明：
双脉冲变轨所需时间仅仅依赖于转移轨道的半长轴a，两个变轨点到中心天体距离和r1+r2，以及两个变轨点间的直线距离。即：
这个定理表明，转移轨道飞行时间仅与两点位置，以及轨道半长轴有关，而与其它轨道参数如偏心率无关，从而将问题解耦。再进一步计算出两点速度和需要速度增量。
以出发时间和到达时间为坐标，逐个求解Lambert方程，得到需要速度增量见下图所示。这个图又被成为猪排(Porkchop)图，它通过暴力扫描出发日期和到达日期得到，可以帮助任务设计者规划两个天体之间的转移轨道，是去往火星的第一个菜单项。由于轨道偏心率和倾角缘故，图形大体在每个周期内模式重复，但又不尽相同。
图 地球-火星到达Porkchop图
近1年时间内总需要速度增量和飞行时间图形见下所示。图中红色等高线为需要总速度增量，蓝色代表飞行天数。从图中可以粗略读出，一种较省能量的配置是2020年7月23日出发，约2021年2月13日到达，所需速度增量最小，飞行205天。
图 总需要速度增量和飞行时间
如果将等高线画为彩色，可以清晰地看到需要速度增量为双叶片特征形状，文献中称之为猪排图（哪儿像了？）。这里叶片以下的轨道称为第一类轨道（< 180°），而以上的轨道称为第二类轨道（> 180°）。
猪排图有助于早期任务设计人员选择发射日期、计算发射能量和速度增量预估值，以及可视化优化轨迹。发射周期的设计通过对一些参数（例如发射赤纬、到达日期、发射周期持续时间、进入速度、太阳角度）施加约束，同时使其他参数（例如发射能量、进入火星轨道速度增量）最小化。
当然，也可以将出发速度增量和到达速度增量拆开绘制，见下图所示。从文献中，喜欢采用C3和V∞表示，C3近似为地球变轨需要速度增量的平方，代表发射能量，V∞近似为火星到达需要速度增量。
图 出发和到达需要速度增量
从图中可以读出，2020年7月23日出发，离开地球轨道需要速度增量较小，2021年2月初到达火星，需要通过探测器减速约2.6km/s。
在文献3中，计算了不同年份登陆火星速度增量。
表 不同年份登陆火星速度增量计算表
这些不同中，到底是偏心率，还是轨道倾角等造成的呢？文献3中计算了5种不同工况：
-
工况1假设地球、火星为标准共面圆，此时最优转移轨道为霍曼轨道；
-
工况2考虑了地球和火星轨道偏心率（其它与工况1相同，下同），此时需要速度增量有所下降，但变轨时间增加；
-
工况3考虑了拱线变化，变轨时间进一步增加，且转移轨道多走了7°以追上火星；
-
工况4考虑了火星轨道倾角，此时需要一个额外速度增量进行转移轨道调整，但轨道周期等与标准霍曼变轨一致；
-
工况5综合了以上偏心率、拱线差异和倾角因素，得到一个最小速度增量5.6km/s，此时需要转移轨道需要比半圈多追25.3°才能赶上火星。对于近些年的探测任务，2026年对总速度增量需求较小，而2016年就不是一个好的探测年份。
表 轨道偏心率、倾角等对转移影响
（类）霍曼转移轨道是最优的吗？
上述通过开普勒轨道模型或通过利用Lambert问题的解分析了火星转移轨道，在两种方法中，均只使用了两次脉冲推进，而两次脉冲推进是登火所需最小数量，其最优性也能得到证明。
如果使用更多次脉冲、甚至持续推力会不会更优呢？正如Edelbaum在1959年抛出的问题：How Many Impulses？以及，如果考虑推力、脉冲有限呢？
这个问题还没有终极答案，有理由相信，霍曼变轨多半不是最优的。理论上就有一种情况。
图 双椭圆转移示意图
如上图，对于共面圆轨道，为从轨道C1转移到C2，先通过∆v1加速到A点（可以比C2更远），然后在A点加速，使近地点抬升到与C2轨道相交的B点，之后减速。通过三次变轨，两次椭圆转移，到达新轨道。
令γ=r2/r1，α=ra/r1，可以得到无量纲需要速度增量（下式中加号代表A点在C2外，减号代表在内）：
绘制不同中间椭圆半径对速度增量需求见下图。
图 不同中间椭圆半径对速度增量需求
其中ra是可选择的，按优化条件可以求出最优的ra_opt及相应的速度增量。研究表明，如果ra_opt>r2，双椭圆转移更节省能量；如果ra_opt<r2，则宁愿选用霍曼转移。
双椭圆转移的极端情况是r2=∞，这称为无限双椭圆转移。
考虑霍曼转移无量纲需要速度增量：
将无限双椭圆转移所需速度增量与霍曼转移做比较见下图所示。
图 无限双椭圆转移和霍曼转移所需速度增量
两曲线交点对应r2/r1=11.94。当r2/r1<11.94时，霍曼转移较为有利。由于火星轨道与地球轨道的r2/r1=1.52，因此，还是采用霍曼变轨更节省能量。即使对于r2/r1较大情况，从图中看来，对速度增量需求减少8%，但这是靠大规模增加轨道转移时间获取的，所以实际意义并不大。
从这个角度，也许简单的霍曼变轨就足够优化了并且实用了吧。
参考文献：
1.Stinner A， Begoray J. Journey to Mars: thephysics of travelling to the red planet[J]. Physics Education， 2005， 40(1):35-45.
2.Prussing J E. Simple proof of the globaloptimality of the Hohmann transfer[J]. Journal of Guidance Control and Dynamics， 1992， 15(4): 1037-1038.
3.Woolley， Ryan C.; Whetsel， Charles W. On the nature of Earth-Mars porkchop plots. 23rd AAS/AIAA Spaceflight Mechanics Meeting.
4.Taheri E， Junkins J L. How Many Impulses Redux[J]. Journal of The Astronautical Sciences， 2019: 1-78.
5.肖亚伦. 航天器飞行动力学原理[M].宇航出版社， 1995.
6.https://au.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/39248-interplanetary-pork-chop-plots
7.罗治情. 地球–火星精确转移轨道设计算法研究[D]. 2012.
本文来自微信公众号：理念世界的影子（ID：spaceodyssey1968），作者：洞穴之外